Francis Comets
Grandes déviations pour le temps de couverture du tore par la promenade aléatoire bidimensionnelle
Résumé
Pour la promenade aléatoire simple sur le tore {1,2,..,n}x{1,2,..,n} en dimension 2 d'espace, on considère le temps de couverture C(n)
C(n) = max{ T(n,x); x dans {1,2,..,n}x{1,2,..,n} } , (*)
avec T(n,x)=temps d'atteinte de x. C'est le temps nécessaire pour visiter tout l'espace. La question centrale abordée dans l'exposé est la suivante: dans quelle mesure peut-on approximer C(n) par un maximum de variables indépendantes?
On remarque en effet que (*) est un maximum de variables dépendantes, et, puisque la dimension 2 est critique pour la récurrence/transience, c'est justement celle où la dépendance est la plus forte.
On montrera que les grandes déviations "par valeurs supérieures" sont compatibles avec l'indépendance, au contraire des
déviations "par valeurs inférieures" pour lesquelles on a un comportement exponentiel étiré,
P( C(n) < g E C(n) ) = exp { - n^(1-g^{1/2} + o(1)) }
quand n tend vers l'infini, pour tout g<1.
Travail en collaboration avec C.Gallesco, S.Popov et M. Vachkovskaia (Campinas, Brésil).