Paul Doukhan

Modélisation des séries temporelles à valeurs entières.

Résumé

Introduisant les coefficients de régularité absolus en termes de norme L1 d'un supremum sur une classe de fonctions uniformément bornées par 1, Dedecker et Prieur (2004) ont affaibli cette condition en considérant un supremum sur la classe des fonctions 1-lipschitziennes, et introduit ainsi un coefficient de couplage faible, $\tau$. Lorsque les modèles sont à valeurs discrètes les deux notions coïncident ainsi; par suite, on en déduit l'équivalence de ces conditions, au moins, pour le cas markovien discret. Des modèles très généraux satisfaisant ces conditions sont introduits par Doukhan et Wintenberger (2008). La solution d'équations récursives

$$ X_t=F(X_{t-1},X_{t-2},...;\xi_t) $$

pour une suite stationnaire $(\xi_t)$ existe sous des hypothèses lipschitziennes et elles ont certains moments finis. Lorsque la suite $(\xi_t)$ est iid cette solution est en fait $\tau-$dépendante. L'objectif de l'exposé est d'exhiber différentes manières de construire des modèles stationnaires à valeurs entières. Une manière revenant à Granger (pour les modèles GARCH) consiste à supposer que la loi d'un processus $Y_t$ conditionnellement à son passé suit une loi de Poisson de paramètre

$$ \lambda_t=f(Y_{t-1},\lambda_{t-1},(Y_{t-1},\lambda_{t-1},...) $$

Sous des conditions lipschitziennes, nous montrons avec Fokianos et Tjostheim (preprint) que l'énoncé précédent s'applique, pour le système plus élémentaire solution de l'équation précédente

$$ Y_t=N_t(\lambda_t) $$

où $N_t$ désigne une suite iid de processus de Poisson, et de plus la solution obtenue admet tous ses moments finis. Nous en déduisons le comportement de l'EMV dans ce contexte. Une alternative est l'usage de l'opérateur de Steutel Van Harn

$$ a\circ x=\mbox{signe}(x)\sum_{i=1}^{|x|}Z_i $$

où $(Z_i)$ désigne une suite iid et indépendante du contexte de moyenne $a$ (dans une classe de loi paramétrée par sa moyenne). Ainsi l'équation du modèle de Galton Watson avec immigration $(\epsilon_t)$ iid et entière s'écrit seulement

$$ X_t=a\circ X_{t-1}+\epsilon_t $$

De manière analogue nous introduisons dans Doukhan, Latour et Oraichi (2006) des versions entières du modèle bilinéaire. Dans ce cadre la méthode des moments et les méthodes de dépendance faible conduisent à des estimations consistantes des paramètres et à un TLC à la vitesse $\sqrt n$. Les méthodes élémentaires de simulation de va discrètes permettent de représenter l'opérateur de Steutel van Harn sous la forme $a\circ x=Z(a,x)$. Ainsi l'idée des GLM précédentes se confond avec celle-ci et

$$ Y_t=Z_t(a_t,Y_{t-1}) $$

a une solution stationnaire lorsque $a_t$ est stationnaire et $\|E(|a_t||{\cal F}_{t-1})\|_\infty <1$. Ainsi lorsque comme précédemment $a_t$ est fonction du passé, nous obtenons des extensions simples du modèle de Poisson précédent; clairement, cela conduit aussi à des extensions des modèles GARCH. Dans le cas général par contre, rien n'est connu concernant les propriétés de dépendance de la solution. La question semble intéressante pour le cas de suites $(a_t)$ admettant un comportement fortement dépendant en distribution (cf. Doukhan, Oppenheim et Taqqu, 2003).