On démontre qu'un groupe de Coxeter se plonge de manière équivariante et isométrique dans un produit fini d'arbres homogènes. Dans le cas affine, et seulement dans ce cas, ces arbres sont des droites : ainsi, on obtient une dichotomie entre les groupes de Coxeter affines et non-affines. Au niveau des immeubles, cette dichotomie donne lieu à différents comportements des groupes d'automorphismes d'immeubles. Par exemple, on démontre qu'un tel groupe, sous certaines conditions de transitivité, admet une paire de Gelfand si et seulement si l'immeuble est affine. Ces arbres peuvent aussi être utilisés pour démontrer que le groupe d'automorphisme de l'immeuble est moyennable à l'infini.