Bertrand Deroin

Singularités de l'extension analytique d'une application d'holonomie

Résumé

Nous nous intéresserons à des équations différentielles algébriques du type dy/dx = R(x,y), avec x et y complexes. Notons y(x ; x_0 , y_0) la solution qui vaut y_0 en x_0. Un théorème de Painlevé affirme qu'elle s'étend analytiquement en un fonction méromorphe le long de tout chemin partant de x_0, qui évite un certain nombre fini de points, si l'on admet des singularités de type algébrique. Fixons maintenant deux valeurs complexes x_0 et x_1, et regardons l'expression y_1 = y(x_1 ; x_0 , y_0) comme une fonction de la variable y_0. De telles fonctions sont appelées applications d'holonomies, et jouent un rôle crucial dans l'étude de la dynamique des équations différentielles algébriques. Painlevé avait déjà remarqué que ces applications peuvent avoir des singularités essentielles sur un ensemble dénombrable, dûes à la présence de liaisons de séparatrices. Dans un récent survol Frank Loray conjecture que ce sont les seuls types de singularités qui peuvent apparaître. Nous donnerons des exemples d'équations différentielles où cette propriété n'est pas satisfaite, et montrerons que, en un certain sens, une équation générique est de ce type. Ce travail est en collaboration avec Gabriel Calsamiglia, Sidney Frankel et Adolfo Guillot.