François Gautero

"Géométricité" des automorphismes de groupes libres.

Résumé

Le groupe libre de rang $n$, note $F_n$, a la particularite d'avoir un groupe des automorphismes externes, note $Out(F_n)$ particulierement riche (du moins des que $n \geq 2$). Pour etudier les groupes $Out(F_n)$, on s'inspire souvent de leurs ``analogues'', un peu mieux compris, les groupes modulaires (c'est a dire groupes des classes d'isotopie d'homeomorphismes) de surfaces compactes. En effet, des qu'une surface compacte a du bord, son groupe fondamental est un groupe libre et par consequent, tout homeomorphisme de celle-ci definira un automorphisme externe de ce groupe libre, en considerant l'action induite sur le groupe fondamental : on dit alors qu'un tel automorphisme externe est ``geometrique''. On echoue cependant ainsi a recuperer tous les automorphismes externes de groupes libres. C'est ce qui explique que l'etude de $Out(F_n)$ soit souvent encore plus complexe que celle des groupes modulaires. Dans cet expose, apres quelques rappels, on s'efforcera dans un premier temps de dresser un parallele (soulignant les differences mais aussi quelques similarites) entre les groupes modulaires et les groupes $Out(F_n)$. Puis on presentera un critere agreable permettant de distinguer automorphismes geometriques et non geometriques dans une sous-classe des automorphismes de Out(F_n) (un critere general du a Nielsen existe, mais il est inverifiable en pratique).