Séminaire Quimpériodique: Résumés


16-17 nov. 2017


Sorin Dumitrescu (Univ. Nice): "Géométries de Cartan branchées"

Je présenterai un travail récent, en collaboration avec Indranil Biswas (TIFR), dans lequel nous introduisons et étudions les géométries de Cartan holomorphes branchées . L'intérêt de cette notion est d'être assez souple pour fournir abondace d'exemples (i.e. toute variété projective complexe compacte admet des structures projectives holomorphes branchées) et en même temps suffisamment rigide pour mener à des résultats de classification. Dans ce sens je montrerai que sur les variétés de Calabi-Yau simplement connexes, toutes les géométries de Cartan holomorphes branchées sont nécessairement plates. L'exposé s'attachera à introduire le cadre classique et les motivations de manière accessible.

Clément Fromenteau (LAREMA): "Sur le champ de Teichmüller des surfaces de Hopf"
Dans cet exposé, je décrirai globalement l'espace des structures complexes sur le produit S1 X S3 (espace de Teichmüller) en utilisant le langage des champs. Je donnerai quelques applications aux déformations de surfaces de Hopf.

Ngoc-Phu Ha (LMBA Vannes): "Invariants quantiques associés à la super-algèbre de Lie sl(2|1)"
La notion de trace modifiée sur un idéal engendré par un objet ambidextre (dans une catégorie de représentations d'un groupe quantique) a été introduite par N. Geer, B. Patureau-Mirand et V. Turaev dans un article en 2009. Avec cette découverte, les auteurs ont construit une classe d'invariants d'entrelacs et de 3-variétés associée à une algèbre de Lie. Par l'utilisation des représentations du groupe quantique associé à la super-algèbre de Lie sl(2|1) nous prouvons l'existence d'une trace modifiée sur l'idéal des modules projectifs et on construit un invariant d'entrelacs et de 3-variétés "à la Reshetikhin-Turaev".

Harold Rosenberg (IMPA): "The geometry and topology of complete minimal surfaces and applications"
In the first talk I will discuss some global theorems concerning minimal surfaces in euclidean 3-space: Bernstein's theorem, the strong half-space theorem of Hoffman-Meeks, and their generalizations to higher dimensions. Applications of minimal surfaces will be described: 3-dimensional topology, Riemannian geometry, conformal geometry and general relativity. In lecture 2, I will show how minimal surfaces disprove a conjecture of Schoen-Yau: "There is no harmonic diffeomorphism from the complex plane onto the hyperbolic plane". Pascal Collin and I construct an entire minimal graph S over H x {0} in H x R, H the hyperbolic plane, that is conformally the complex plane. The vertical projection of S to H x {0} is then a harmonic diffeomorphism from the complex plane onto H.

Caroline Vernier (LMJL): "Théorèmes de recollement en géométrie Kählérienne"
L'objet du programme de Calabi est de munir les variétés complexes de métriques privilégiées, par exemple de métriques à courbure scalaire constante. Si la question est bien comprise en pour les surfaces de Riemann (théorème d'uniformisation de Gauss), elle est beaucoup plus délicate dès que la dimension complexe est supérieure à 1. En l'absence d'un théorème générale d'existence de métriques canoniques, il est intéressant de chercher à construire de nouveaux exemples. Les méthodes dites de recollement permettent d'obtenir des familles de métriques Kählériennes à courbure scalaire constante (cscK) sur des variétés obtenues par éclatement de points d'une variété Kählérienne préalablement munie d'une métrique cscK, ou par résolution des singularités d'un orbifold cscK. Dans cet exposé, je présenterai le fonctionnement des théorèmes de recollement et, si le temps le permet, je discuterai de leur possible généralisation aux variétés presque Kähler.

1-2 juin 2017

Inas Amacha (LMBA): "Flot de Yamabe avec courbure scalaire prescrite"
Sur une variété Riemannienne compacte (M,g0) de dimension n>=3, le problème de la courbure scalaire prescrite est de trouver des conditions sur une fonction F Cinfini sur M pour qu'elle soit la courbure scalaire d'une métrique g conforme à g0. Ce problème est équivalent à la résolution de l'EDP suivante :
-4(n-1)(n-2)-1Δ0u+R0u=FuN
où Δ0 est le Laplacien associé à g0 et R0 est la courbure scalaire de g0. Une des méthodes naturelles pour résoudre ce problème est la méthode du flot de gradient. Plus précisément, on étudiera dans le cas où R0<0, le flot de Yamabe correspondant:
dt g=-(Rg-F)g
Dans cet exposé on montrera son existence globale et son comportement asymptotique à l'infini.

Bertrand Deroin (ENS Paris): "Sur certains problèmes de géométrisation"
Une (G,X)-structure sur une variété induit une représentation du groupe fondamental de la dite variété dans G, qui est bien définie à conjugaison près. On peut se demander à quelle condition une représentation donnée apparaît de cette façon. Nous décrirons un certain nombre de résultats et conjectures concernant ce problème de géométrisation dans le cas des surfaces.

Victor Kleptsyn (IRMAR): "Autour des actions de groupes sur le cercle"
La dynamique en dimension un sans mesure invariante se sépare en deux mondes très différents : des actions qui sont localement discrètes et qui n'en sont pas. Celles qui ne sont pas localement discrètes (c'est-à-dire, pour lesquelles il existe un intervalle I et une suite des éléments dont les restrictions sur I convergent vers l'identité sans être égales à l'identité), sont déjà bien comprises. Leur dynamique est très riche (par l'argument de Loray-Rebelo-Nakai-Scherbakov elles contiennent des flots locaux dans l'adhérence locale), ce que permet de démontrer l'ergodicité, la rigidité topologique (un travail récent de Rebelo-Eskif), etc. Par contre, celles qui sont localement discrètes sont beaucoup moins bien comprises. Je parlerai sur l'état d'avancement de projet en commun avec B. Deroin, A. Navas, D. Filimonov, M. Triestino, D. Malicet, S. Alvarez et C. Meniño, qui est consacré à ces actions. Pour tous les cas sauf un, on peut dire que le groupe possède la propriété "étoile", permettant de faire un procédé d'expansion (et donc impliquant l'ergodicité pour une action minimale et la mesure nulle pour un ensemble minimal exceptionnel), que l'action admet (en un certain sens) une partition de Markov, et cette partition peut être utilisée pour classifier les actions.

Paul Laurain (univ. Paris VII): "Surfaces de Willmore: passé, présent et futur..."
1er exposé: Le but de cet exposé est d'une part d'introduire l'énergie de Willmore et les surfaces associées, et d'autre part de présenter deux résultats remarquables des années 80.
- Rappel de géométrie différentielle et introduction à l'énergie de Willmore;
- Les travaux de Li et Yau;
- La classification des sphères de Bryant et le liens avec les surfaces minimales.
2ième exposé: Le but de cet exposé est d'introduire une méthode analytique reposant sur l'invariance conforme et permettant d'exhiber un phénomène de compacité par compensation.
- Introduction aux immersions faibles;
- Théorème de Noether et lois de conservation;
- Compacité faible;
- Compacité forte ???

Guillaume Roux (LMJL): "Flot de Reeb et chirurgie critique."
Après avoir rappelé la notion topologique de chirurgie, l'exposé en présentera une version pour les variétés de contact. Afin de mieux comprendre l'effet d'une chirurgie de contact, on s'intéressera ensuite à son impact sur la dynamique du champ de Reeb, champ de vecteur particulier associé à la forme de contact. Plus particulièrement, on expliquera pourquoi une chirurgie critique provoque l'apparition de nouvelles trajectoires fermées pour le champ de Reeb, et on donnera une description simple des ces nouvelles orbites.

19-20 janvier 2017

Thierry Barbot (univ. Avignon): "Espaces-temps plats de dimension 2+1 avec singularités: vers une classification (selon L. Brunswic)".
Le but de ces deux exposés est de présenter le travail de thèse (en cours) de Léo Brunswic. Il s'agit de présenter la théorie des espaces-temps plats (c'est-à-dire localement modelés sur l'espace-temps de Minkowski), admettant certains types de lignes singulières - dites particules - qui sont globalement hyperboliques. Pour faire bref, il s'agit des espaces-temps admettant une fonction temps dont les niveaux sont compacts; en d'autres termes, ceux qui sont "spatialement compacts". Le cas sans particule a été élucidé dans un article fondateur de G. Mess au début des années 90; qui a notamment établi que ces espaces-temps, à isométrie près, sont en correspondance biunivoque avec l'espace tangent de l'espace de Teichmüller. Cette théorie sera le contenu du premier exposé. Le second exposé sera consacré au cas avec particules. Ce cas est aussi traité dans des travaux récents, notamment ceux de Bonsante-Seppi, sous des hypothèses assez restrictives. Le travail de Brunswic suit une ligne un peu différente, très géométrique, et basée sur des idées de Gerard 't Hooft, exploitant le principe qu'un tel espace-temps doit contenir des surfaces de type espace particulières: totalement géodésiques par morceaux, et convexes. De telles surfaces sont alors naturellement munies d'une métrique localement euclidienne avec singularités coniques. Un des enjeux de la thèse de L. Brunswic est de montrer que pour toute surface localement euclidienne S avec singularités coniques d'angles $\theta_1$, ... $\theta_n$, et pour tout n-uplet de nombres réels positifs $\alpha_1$, ... , $\alpha_n$ vérifiant $\alpha_i < \theta_i$ pour tout $i$ entre $1$ et $n$, il existe un et un seul espace temps plat GH "radiant" admettant S comme tranche d'espace convexe et polyhèdrale, et où les particules sont de "masse" $\alpha_1$, ... , $\alpha_n$. Une des innovations majeures est d'interpréter le cas où tous les $\alpha_i$ sont nuls: les particules sont alors des "trous blancs BTZ extrêmes", et l'espace de modules des espaces temps associés est alors l'espace de Teichmüller décoré introduit par R. Penner. Il est plaisant que cette théorie met en jeu des mathématiques de collège mettant en jeu les triangles euclidiens et leurs cercles circonscrits... Le résultat final n'est pas obtenu, mais j'étudierai avec détail le cas où S est la sphère avec trois points singuliers, qui est totalement résolu.

Baptiste Chantraine (LMJL): "Obstructions à l'existence d'isotopies legendriennes positives".
Dans cette exposé j'introduirai la notion de sous-variétés legendriennes dans des variétés de contact par des exemples concrets. Ensuite je donnerai des exemples d'isotopies legendriennes positives en illustrant les différences entre celles-ci et les isotopies legendriennes classiques. Dans une seconde partie on verra des obstructions à l'existence de telles isotopies dans certaines variétés de contact et je relierai ceci à la notion d'ordenabilité du groupe de contactomorphismes. Collaboration avec V. Colin et G. Dimitroglou Rizell.

Frank Loray (IRMAR): "Voisinages de courbes dans les surfaces complexes".
Etant donnée une courbe (surface de Riemann) compacte C, on essaye de comprendre quand est-ce que deux plongements C---> S, S' holomorphes dans des surfaces complexes sont localement équivalents, en ce sens que les voisinages sont biholomorphiquement équivalents. Le but de l'exposé est de décrire quelques invariants qui permettent de distinguer des plongements non équivalents.

Delphine Pol (LAREMA): "Symétrie des multi-valuations des courbes".
Le semigroupe d'une courbe plane irréductible, ou plus généralement d'une courbe Gorenstein, présente une propriété de symétrie, qui a été généralisée aux courbes à plusieurs branches par Felix Delgado. L'objectif de cet exposé est de présenter une généralisation de cette symétrie qui relie les multi-valuations d'un idéal à celles de son dual. Je me suis intéressée à cette symétrie dans le but de regarder l'idéal jacobien et son dual, le module des résidus logarithmiques.

Erwan Rousseau (univ. Aix-Marseille): "Conjectures de Lang pour les surfaces de type général".
Nous expliquerons quelques résultats récents sur la géométrie des courbes dans certaines surfaces de type général, inspirés par les conjectures de Lang.

17-18 nov. 2016

Christophe Bavard (univ. Bordeaux): "Points conjugués et modèles géométriques pour les surfaces lorentziennes"
Les points conjugués jouent un rôle important en géométrie riemannienne et lorentzienne. Pour les variétés riemanniennes, l'absence de points conjugués impose des contraintes assez fortes sur la topologie et parfois même sur sa géométrie. Ainsi, un résultat de Hopf (1948), généralisé par Burago et Ivanov (1994), affirme qu'un tore riemannien sans points conjugués est nécessairement plat. Dans cet exposé, je montrerai l'existence de tores lorentziens sans points conjugués et non plats. J'expliquerai ensuite la construction de modèles géométriques généralisant les modèles classiques de courbure constante. Enfin, je donnerai quelques applications de ces objets : lien avec la question des points conjugués, classification des tores lorentziens munis d'un flot d'isométries. Il s'agit d'un travail conjoint avec Pierre Mounoud.

Elsa Ghandour (LMBA): "Séries formelles pour les fonctions conjuguées en trois dimensions".
Deux fonctions f et g définies sur une variété riemannienne sont dites conjuguées si en chaque point leurs gradients sont orthogonaux et de même longueur ; autrement dit, le couple (f,g) détermine une application semi-conforme. Il est naturel de chercher les conditions sur une fonction f afin qu'elle admette une conjuguée. En 2015, P. Baird et M. G. Eastwood ont montré que dans l'espace euclidien de dimension trois, f admet une conjuguée si et seulement si elle vérifie une inégalité différentielle d'ordre 2 et trois équations différentielle d'ordre 3 ; toutes ces conditions sont invariantes par des transformations conformes et il faut une liste exhaustive d'invariants pour les écrire ; bref, ces équations sont très obscures. Un problème fondamental est le manque d'exemples. Dans cet éxposé, je vais discuter un ansatz qui permet de construire des solutions à partir d'une fonction à deux variables qui vérifie une equation différentielle du premier ordre. On est ramené à la construction des séries formelles qui représentent des solutions. Afin de les trouver, on doit d'abord surmonter les difficultés algébriques.

Daniel Naie (LAREMA): "L'irrégularité des surfaces contenues dans une hypersurface de petit degré de P4".
L'etude des surfaces lisses contenues dans une hypersurface de P4 de petit degré (i.e. < 6) semble offrir des renseignements sur la compréhension des surfaces plongées dans P4. Guidés par ce principe heuristique, nous étudions l'irrégularite de ces surfaces. L'étude est basée sur l'interprétation de l'hypersurface comme l'existence d'une section globale non-nulle du fibré normal tordu de la surface et sur l'utilisation de la suite de Koszul associée à cette section. Il s'agit d'un travail en commun avec Igor Reider.

Emmanuel Opshtein (Univ. Strasbourg): "Beaucoup de rigidité et un peu de flexibilité C0 pour les sous-variétés Lagrangiennes".
La géométrie symplectique est la géométrie associée à une 2-forme fermée non-dégénérée. Il s'agit d'une géométrie flexible localement (l'espace des symétries, même locales, est de dimension infini), qui présente cependant une rigidité topologique remarquable. Cette rigidité implique la possibilité de définir une notion de géométrie symplectique C^0. J'expliquerai comment cette géométrie C^0 (donc par homéomorphisme) agit sur une classe de sous-variétés fondamentales en géométrie symplectique, les sous-variétés lagrangiennes. Dans le premier exposé, j'introduirai la géométrie symplectique, et les résultats de base de la théorie qui mènent aux questions de rigidité/flexibilité C^0. Dans le second exposé, je parlerai plus particulièrement de l'action des homéomorphismes symplectiques sur les Lagrangiennes.

Axel Rogue (IRMAR): "Exposant de Lyapunov minimal dans CP2".
La dynamique des orbites obtenues par itération d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle f de P^n(C) a été initiée au début du XXème siècle par (entre autres) Julia et Fatou. Le chaos de tels systèmes étant important, il a fallu attendre quelques décennies avant que le point de vue ergodique, dont l'idée fondamentale est d'utiliser une mesure invariante pour étudier ce qu'il se produit en moyenne, permette une meilleure compréhension des phénomènes rencontrés. Il permet notamment de définir les exposants de Lyapunov, qui s'apparentent à des valeurs propres asymptotiques de la suite D_x f^n. On sait grâce à Briend et Duval que ces exposants de Lyapunov sont minorés par une constante. Une question naturelle est donc: quels sont les f ayant un exposant minimal ? C'est cette question, résolue en dimension 1, mais encore indécise en dimension 2, que je me propose d'aborder.

28-29 avril 2016

Mark Baker (IRMAR): "3-variétés arithmétiques"
Les compléments d'entrelacs dans S3 provenant des groupes de congruence dans PSL(2,Od) sont des exemples importants de variétés arithmétiques. Certaines, comme les complémentaires du noeud de huit et de l'entrelacs de Whitehead jouent un rôle fondamental dans la théorie des 3-variétés. Je parlerai d'un programme d'énumération de ces complémentaires d'entrelacs lorsque les groupes de congruence sont principaux. On utilise des méthodes théoriques ainsi que des calculs avec MAGMA. (Travail en commun avec Alan Reid).

Gilles Carron (LMJL): "Pincement intégral de la courbure et la topologie de certaines 3-variétés".
Résumé: Il s'agit d'un travail en commun avec V. Bour. Un résultat célèbre de R. Hamilton établit la classification des variétés de dimension 3 compactes à courbure de Ricci positive. On montrera une classification analogue des 3-variétés compactes dont la partie négative de la courbure de Ricci est petite en moyenne.

Romain Gicquaud (Univ. Tours): "Masses des variétés asymptotiquement hyperboliques".
Résumé: Les variétés asymptotiquement hyperboliques sont des variétés riemanniennes pour lesquelles la géométrie approche à l'infini celle de l'espace hyperbolique. Le but de cet exposé est de définir et de classifier les objets ne dépendant que de la géométrie asymptotique de ces variétés et qui présentent de bonnes propriétés de covariance sous les changements de carte à l'infini.

Frédéric Le Roux (Univ. Paris VI): "Invariants spectraux et dynamique topologique pour les difféomorphismes hamiltoniens des surfaces".
Résumé: Le problème du disque déplacé, formulé en 2008, consiste à prouver qu'un "petit" diffeomorphisme de la sphère, préservant les aires, ne peut pas pousser un disque topologique d'aire donné disjoint de lui-même. Ce problème a été résolu par Sobhan Seyfaddini en 2013 à l'aide des invariants spectraux de la géométrie hamiltonienne. Avec Sobhan et Vincent Humilière, nous avons tenté de comprendre ces invariants spectraux du point de vue de la dynamique topologique sur les surfaces, et notamment de la théorie des feuilletages transverses de Patrice Le Calvez. Je vous propose de prendre toute cette histoire comme prétexte pour donner un aperçu de ces jolis objets.

Etienne Mann (LAREMA): "D-modules quantiques et symétrie miroir".
Résumé: Nous expliquerons comment les D-modules quantiques encodent les invariants de Gromov-Witten, et qu'ils généralisent les structures de Hodge. Nous montrerons comment on peut exprimer la symétrie miroir en termes d'un isomorphisme entre D-modules quantiques.

28-29 jan. 2016

Betrand Banos (LMBA): "Réduction symplectique d'équations différentielles non linéaires du type Monge-Ampère".
Résumé: J'expliquerai comment le formalisme des opérateurs de Monge-Ampère permet de généraliser le principe de réduction symplectique de Mardsen et Weinstein et donne une méthode géométrique pour réduire par symétries une large famille d'EDP non linéaires d'ordre 2.

Isabelle Liousse (univ. Lille): "Dynamiques et distortion dans les groupes d'échanges d'intervalles affines".
Résumé: En 2009, C. Novak a montré que le groupe des échanges d'intervalles ne contient pas d'élément de distortion. La même question pour le groupe des échanges d'intervalles affines est toujours ouverte. J'expliquerai la notion de distortion et sa pertinence, le résultat de Nowak, la problématique dans le cas affine et un travail en collaboration H. HMILI : "Le groupe de Thompson V (i.e. constitué des échanges d'intervalles affines dyadiques) ne contient pas d'éléments de distortion". Ce résultat est établi à l'aide de propriétés dynamiques des échanges d'intervalles affines et a comme conséquence que V ne contient pas de sous-groupes de types Baumslag-Solitar.

Frédéric Mangolte (LAREMA): "Faux plans réels : modèles affines exotiques de R^2".
Résumé: On étudie les complexifications topologiquement minimales du plan affine euclidien R^2 à isomorphisme près et à difféomorphismes birationnels près. Un faux plan réel est une surface algébrique non singulière définie sur les réels telle que:
- Le lieu réel S(R) est difféomorphe à R^2;
- Le lieu complexe S(C) a le type d'homologie rationnelle du plan complexe;
- S(C) n'est pas isomorphe au plan.
L'étude analogue dans le cas compact, c'est-à-dire la classification des complexifications du plan projectif réel P^2(R) possédant l'homologie rationnelle du plan projectif complexe est bien connue: P^2(C) est l'unique telle complexification. Nous prouvons que les faux plans réels existent en donnant plusieurs exemples et nous abordons la question: existe-t-il un faux plan réel qui n'est pas birationnellement difféomorphe au plan réel? (Travail en commun avec Adrien Dubouloz.)

Xavier Roulleau (Univ. Poitiers): "Récents développements sur la conjecture de la négativité bornée".
Résumé: La conjecture de la négativité bornée a été formulée par l'école italienne dès le début de la théorie des surfaces algébriques. Elle prévoit que pour une surface projective complexe lisse X, il existe une constante b telle que pour toute courbe C (réduite) sur X, l'auto-intersection de C vérifie C^2 >b. Même si on sait que cette conjecture est vérifiée par une surface donnée (par exemple le plan), on ne sait en général rien dire pour un éclatement (multiple) de cette surface. Les constantes de Harbourne ont été récemment introduites pour aborder cette question. Dans ces exposés, nous ferons le point des connaissances actuelles sur cette conjecture et présenterons nos résultats sur les surfaces abéliennes contenant des courbes elliptiques.

Anne Vaugon (Univ. Orsay): "Quelques propriétés dynamiques des champs de Reeb".
Les champs de Reeb sont des champs de vecteurs issus de la géométrie de contact et possédant des propriétés dynamiques tout à fait remarquables. Ainsi, en dimension 3, sur une variété compacte, ils admettent toujours une orbite périodique. Dans cet exposé, j'expliquerai leurs liens avec la mécanique hamiltonienne ainsi que leur rôle dans l'étude des variétés de contact.

19-20 nov. 2015

Samuel Tapie (LMJL): "Bas du spectre et entropie en courbure négative".
Résumé : Un théorème célèbre de Patterson et Sullivan relie, pour les variétés non-compactes à courbure -1, le bas du spectre du Laplacien et l'entropie du flot géodésique. Les démonstrations classiques de ce résultat font appel à la théorie du potentiel, et sont spécifiques des espaces localement symétriques. Dans cette exposé, après avoir expliqué les différentes notions mises en jeu, nous présenterons une nouvelle preuve géométrique de ce résultat classique. Nous montrerons qu'elle permet d'obtenir des informations supplémentaires sur le spectre des variétés hyperboliques, et un nouveau lien entre bas du spectre et entropie dans le cas des variétés à courbure négative pincées. (Résultats obtenus en collaboration avec Thomas Roblin.)

Carl Tipler (LMBA): "Espace de module infinitésimal du système de Strominger".
Résumé: Issu de la théorie des cordes, le système de Strominger est une généralisation naturelle des métriques de Calabi-Yau sur des variétés complexes non Kähler. On étudiera l'espace des modules des solutions de ce système, et on mettra en avant les similitudes avec le cas kählérien mieux connu. On verra aussi comment la géométrie généralisée à la Hitchin permet une unification du système de Strominger et de la condition Kähler-Ricci nulle. Travail en collaboration avec Mario Garcia-Fernandez et Roberto Rubio.