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Equivalence asymptotique pur les modèles de régression.
On a
démontré une version fonctionnelle de l'approximation forte pour
les sommes des variables aléatoires indépendantes. C'est un
analogue du fameux résultat dû à Komlos,
Major et Tusnàdy pour les sommes des variables
aléatoires indexées dans une classe fonctionnelle. Le
résultat obtenu a servi comme base pour démontrer que sous
certaines conditions de régularité une suite d'expériences
statistiques non paramétriques de régression est asymptotiquement
équivalente dans le sens du pseudo-distance de
déficience de Le Cam à une suite des expériences dans
lesquelles on observe un signal dans le bruit blanc Gaussien. On a
démontré que le signal est une transformation de la fonction
initiale par une fonction qui dépend de l'information de Ficher
uniquement. L'importance d'un tel résultat est qu'on peut
transférer les suites des estimateurs efficaces de la suite Gaussienne
à celle non paramétrique. Les mêmes bornes inférieures
pour les fonctions des pertes bornées sont préservées. Ce
résultat peut être interprété comme un analogue du
théorème asymptotique minimax de Hàjek-Le
Cam pour ces modèles.
Ce travail est
en collaboration avec le Prof. Michael Nussbaum (Cornell University).
Equivalence asymptotique pour le modèle autorégressif
à observations discrètes.
On a
montré l’équivalence asymptotique locale entre le
modèle de autorégressif non paramétrique en temps discret
et le modèle de régression avec un design aléatoire ainsi
qu’avec un design déterministe. C’est un résultat en
première. La preuve s’appui sur un résultat
d’approximation fonctionnelle forte pour des variables aléatoires
dépendantes qui utilise une construction de Skorokhod
multi- échelle. Le travail et en collaboration avec Professeur M.
Neumann (Université de Brauschweig).
Grandes déviations pour les
martingales avec application aux modèles autorégressifs.
On a
démontré un développement asymptotique pour la
probabilité de déviations modérées des sommes des
martingales différences multivariées. Au centre de ce
résultat est la méthode de projections séquentielles qui a
été élaboré pour gérer le comportement de la
caractéristique quadratique dans pour martingales multi-
dimensionnelles. Un résultat
intéressant surgit lors de l’application de ce résultat au
cas des processus autorégressifs d’ordre p. En première aussi, on a obtenu un
développement asymptotique pour les déviations
modérées de l’estimateur de moindres carrées dans ce
modèle. Travail en
collaboration avec Professeur E. Haeusler (Univesité de Giessen).
Agrégation des estimateurs avec applications dans la
théorie des valeurs extrêmes.
Pour une
famille des estimateurs locaux dans un modèle de régression on
donne une méthode d’agrégation basée sur le test de
vraisemblance. On propose de tester
l’hypothèse que le vrai modèle peut être
approché par un modèle homogène contre l’alternative
que ce modèle continent un point de rupture. L’approche est
applicable aussi dans le cas de l’estimateur de Hill de l’indice de
variation régulière d’une fonction de répartition
régulière a queue lourde.
On
développe également l’idée que la fonction de
répartition peut être mieux approché par une autre
répartition de type Pareto, différente de celle qui correspond
à l’indice de variation régulière. On introduit la
notion de paramètre Pareto ajusté. On démontre la
convergence des estimateurs non agrégés et des ceux
agrégés vers le paramètre ajusté et on
détermine leurs vitesses. On montre ensuite que les vitesses de convergence
obtenues sont optimales pour l’estimateur de Hill ainsi que pour
l’estimateur agrégé.
Encadrement doctoral:
Françoise
Guillemot: thèse commencée en
septembre 2002.
Je participe à l'encadrement doctoral de Mohand Feddag-Larbi: (au niveau de 50%) Thèse soutenue
en 2003.
J'ai participé à l'encadrement
doctoral de Jean-François Dupuy: (au
niveau de 30%) Thèse
soutenue en novembre 2002.
Divers :
Jury de thèse : Agnes Hammon
Rapporteur de thèse et jury de thèse:
Hassan Chetouani
Rapporteur de thèse:
Olga Koulechova-Gozal
Rapporteur de thèse et jury de thèse: Pierre Ribereau
(2005)
Jury de thèse : habilitation de David Causeur
(2005)
Jury de thèse : habilitation de Valentin Patilea (2006)