On étudie une relation de récurrence affine multidimensionnelle à coefficients aléatoires, ayant une mesure invariante finie. Sous une hypothèse génériquement satisfaite, on montre que cette mesure est "homogène a l'infini" et, en particulier, appartient au domaine d'attraction d'une loi stable, dont la forme générale dépend de la partie multiplicative de la relation. La preuve est basée sur les propriétés de "trou spectral" pour certains opérateurs de convolution sur l'espace projectif.