On s'intéresse à la recherche de surfaces de Riemann compactes extrêmes (i.e. maxima locaux) pour la systole, ou tout au moins parfaites.

La méthode consiste à réaliser géométriquement les groupes d'automorphismes à 4 points de branchements. En effet, le lieu des points fixes dans l'espace de Teichmüller $T_g$ d'un tel groupe, dépend d'un paramètre complexe qu'on peut alors ajuster pour maximiser la systole. On étudie ensuite les propriétés variationnelles dans $T_g$ des surfaces obtenues.

On donne de nouveaux exemples de surfaces extrêmes en genre 4 et 6. On trouve également de nouvelles surfaces parfaites non extrêmes en genre 4 (ce sont les premiers exemples de telles surfaces en genre $\leq 10$), ainsi qu'une suite infinie de surfaces parfaites non extrêmes de genre $g>3$.

La méthode employée pour la recherche de surfaces parfaites, permet de trouver parallèlement un certain nombre de surfaces eutactiques, qui sont intéressantes à classifier en elles-mêmes puisque ce sont les points critiques de la fonction systole.